數(shù)學(xué)：人教版-高中1年級(jí) 選修2-3-分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

一、知識(shí)精講

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法 ，

特別注意:兩個(gè)原理的共同點(diǎn)是把一個(gè)原始事件分解成若干個(gè)分事件來完成。不同點(diǎn)在于，一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)，如果完成一件事情共有類辦法，這類辦法彼此之間相互獨(dú)立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分類計(jì)數(shù)原理；如果完成一件事情需要分成個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成 每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分步計(jì)數(shù)原理。

二、題型剖析

例1、把一個(gè)圓分成3塊扇形，現(xiàn)在用5種不同的顏色給3塊扇形涂色，要求相鄰扇形的顏色互不相同，問有多少鐘不同的涂法？若分割成4塊扇形呢？

解：（1）不同涂色方法數(shù)是：（種）

（2）如右圖所示,分別用a,b,c,d記這四塊,

a與c可同色,也可不同色,先考慮給a,c兩塊涂色,分兩類

(1) 給a,c涂同種顏色共種涂法,再給b涂色有4種涂法,

【思維點(diǎn)拔】 解決這類題首先要明確：“完成一件事”指什么？如何完成這件事（即分步還是分類）？進(jìn)而確定應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理。

分步計(jì)數(shù)原理中的“分步”程序要正確?！安健迸c“步”之間是連續(xù)的,不間斷的,缺一不可。

分類計(jì)數(shù)原理中的“分類”要全面, 不能遺漏?！邦悺迸c“類之間是并列的、互斥的、獨(dú)立的,也就是說,完成一件事情,每次只能選擇其中的一類辦法中的某一種方法。

例3(優(yōu)化設(shè)計(jì)P172例1)、電視臺(tái)在”歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱,其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.現(xiàn)有主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾,若先確定一名幸運(yùn)之星,再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴,有多少種不同的結(jié)果?

解: (1) 幸運(yùn)之星在甲箱中抽,再在兩箱中各定一名幸運(yùn)伙伴,有30×29×20=1740種結(jié)果;

(1) 幸運(yùn)之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11400種結(jié)果。

由分類計(jì)數(shù)原理,共有   17400+11400=28800 種不同結(jié)果。

【評(píng)述】在綜合運(yùn)用兩個(gè)原理時(shí)，一般先分類再分步。

例4(優(yōu)化設(shè)計(jì)P173例2)、從集合{1，2，3，u ，10}中，選出由5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有多少個(gè)？

解：和為11的數(shù)共有5組：1與10，2與9，3與8，4與7，5與6，子集中的元素不能取自同一組的兩數(shù)，，即子集中的元素取自5個(gè)組中的一個(gè)數(shù)，而每個(gè)數(shù)的取法有2種，所以子集個(gè)數(shù)為2?2?2?2?2=25=32

【評(píng)述】本題的關(guān)鍵是先找出和為11的5組數(shù)，然后利用分步計(jì)數(shù)原理求出結(jié)果。

例5(優(yōu)化設(shè)計(jì)P173例3)、某城市在中心廣場(chǎng)造一個(gè)

花圃，花圃分為6個(gè)部分(如圖).現(xiàn)要栽種4種不同

顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏

色的花，不同的栽種方法有   ________ 種.(以數(shù)字作答)

解法1:   因?yàn)閰^(qū)域1與其它5個(gè)區(qū)域都有公共邊，所

以當(dāng)區(qū)域1栽種一種顏色的花之后，該顏色的花就不

能栽于其它區(qū)域．因而可分兩步走，考慮如下：

第一步，在區(qū)域1中，栽上一種顏色的花，有4種栽法；

第二步，在剩下的五個(gè)區(qū)域中，栽種其它三種顏色的花．為此，可將2至6號(hào)五個(gè)區(qū)域分成3組，使同一組中的不同區(qū)域沒有公共邊．這樣的分組法有且只有5類，如下表(表中數(shù)字為區(qū)域號(hào))：

【評(píng)述】本題需抓住花圃布局的要求，看清圖形中6個(gè)部分的關(guān)系；明確每個(gè)部分只種同一種顏色的花，相鄰部分應(yīng)種不同顏色的花；而且4種顏色的花都要種上，缺一不可．對(duì)這些條件要求，稍有疏忽、遺漏或曲解，都會(huì)引致解答出錯(cuò)．其次，應(yīng)設(shè)計(jì)好周全而又不出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的推算程序，關(guān)鍵是推算過程中分步、分類的安排要合理且嚴(yán)密；此外，在每一分步或分類中，計(jì)數(shù)不出錯(cuò)；最后，乘法原理和加法原理的運(yùn)用，以及數(shù)值計(jì)算還得無誤，方能得出正確的答數(shù)．

三、課堂小結(jié)：

1．分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是解決排列、組合問題的理論基礎(chǔ)。這兩個(gè)原理的本質(zhì)區(qū)別在于分類與分步，分類用分類計(jì)數(shù)原理，分步用分步計(jì)數(shù)原理 。

2．元素能重復(fù)的問題往往用計(jì)數(shù)原理。

3．注意：類”間相互獨(dú)立，“步”間相互聯(lián)系。

四、【布置作業(yè)】   優(yōu)化設(shè)計(jì)P173